本章讲解一个在机器学习领域里，用到的最多的一个算法，逻辑回归
1 逻辑回归
逻辑回归是一个分类算法
回归问题怎么解决分类问题？ 答：将样本的特征和样本发生的概率联系起来，概率是一个数。
逻辑回归只能解决二分类问题
如果数值大于0.5，分类为1，相反，分类为0
我们求得的回归问题的值域为(-infinity, +infinity)，那么如何将(-infinity, +infinity)值域转到（0,1）呢？
1.1 表达式 Sigmoid函数
所以逻辑回归的表达式
如何找到参数θ，可以用这样的方式最大程度获得样本数据集X对应的分类y? 也就是损失函数如何定义？
1.2 损失函数
损失函数分析如下，因此可以找出这样的一组表达式可以表示损失函数。
在坐标轴上损失函数表示的更加直观
因此结合二者，可以用一个表达式来表示。因为y要么为0，要么为1
最终的损失函数如下：
因为是离散的，没有公式解，只能使用梯度下降法求解
1.3 梯度推导过程
所以左半部分为
再来看右半部分：
所以右半部分为：
总的部分为：
因此：
发现结果与线性回归很相似
逻辑回归最终的结果为：
2 封装逻辑回归
前面已经得知目标函数与损失函数，因此我们对线性回归稍加修改，就可以得到逻辑回归算法了
import numpy as npfrom .metrics import accuracy_scoreclass LogisticRegression: def __init__(self): """初始化Logistic Regression模型""" self.coef_ = None self.intercept_ = None self._theta = None def _sigmoid(self, t): return 1. / (1. + np.exp(-t)) def fit(self, X_train, y_train, eta=0.01, n_iters=1e4): """根据训练数据集X_train, y_train, 使用梯度下降法训练Logistic Regression模型""" assert X_train.shape[0] == y_train.shape[0] def J(theta, X_b, y): """损失函数""" y_hat = self._sigmoid(X_b.dot(theta)) try: return - np.sum(y*np.log(y_hat) + (1-y)*np.log(1-y_hat)) / len(y) except: return float('inf') def dJ(theta, X_b, y): """损失函数的梯度""" return X_b.T.dot(self._sigmoid(X_b.dot(theta)) - y) / len(y) def gradient_descent(X_b, y, initial_theta, eta, n_iters=1e4, epsilon=1e-8): theta = initial_theta cur_iter = 0 while cur_iter < n_iters: gradient = dJ(theta, X_b, y) last_theta = theta theta = theta - eta * gradient if (abs(J(theta, X_b, y) - J(last_theta, X_b, y)) < epsilon): break cur_iter += 1 return theta X_b = np.hstack([np.ones((len(X_train), 1)), X_train]) initial_theta = np.zeros(X_b.shape[1]) self._theta = gradient_descent(X_b, y_train, initial_theta, eta, n_iters) self.intercept_ = self._theta[0] self.coef_ = self._theta[1:] return self def predict_proba(self, X_predict): """给定待预测数据集X_predict，返回表示X_predict的结果概率向量""" assert self.intercept_ is not None and self.coef_ is not None assert X_predict.shape[1] == len(self.coef_) X_b = np.hstack([np.ones((len(X_predict), 1)), X_predict]) return self._sigmoid(X_b.dot(self._theta)) def predict(self, X_predict): """给定待预测数据集X_predict，返回表示X_predict的结果向量""" assert self.intercept_ is not None and self.coef_ is not None assert X_predict.shape[1] == len(self.coef_) proba = self.predict_proba(X_predict) return np.array(proba >= 0.5, dtype='int') def score(self, X_test, y_test): """根据测试数据集 X_test 和 y_test 确定当前模型的准确度""" y_predict = self.predict(X_test) return accuracy_score(y_test, y_predict) def __repr__(self): return "LogisticRegression()"复制代码 使用过程：
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom sklearn import datasetsfrom playML.LogisticRegression import LogisticRegressioniris = datasets.load_iris()X = iris.datay = iris.targetX_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, seed=666)log_reg = LogisticRegression()log_reg.fit(X_train, y_train)log_reg.score(X_test, y_test) # 1.0复制代码
3 决策边界
下面给出绘制决策边界的方法
def plot_decision_boundary(model, axis): # 先变成网格 x0, x1 = np.meshgrid( np.linspace(axis[0], axis[1], int((axis[1]-axis[0])*100)).reshape(-1, 1), np.linspace(axis[2], axis[3], int((axis[3]-axis[2])*100)).reshape(-1, 1), ) X_new = np.c_[x0.ravel(), x1.ravel()] y_predict = model.predict(X_new) zz = y_predict.reshape(x0.shape) from matplotlib.colors import ListedColormap custom_cmap = ListedColormap(['#EF9A9A','#FFF59D','#90CAF9']) plt.contourf(x0, x1, zz, linewidth=5, cmap=custom_cmap)复制代码
对上一小节的数据进行绘制边界
plot_decision_boundary(log_reg, axis=[4, 7.5, 1.5, 4.5])plt.scatter(X[y==0,0], X[y==0,1])plt.scatter(X[y==1,0], X[y==1,1])plt.show()复制代码
kNN也可以使用这种方式绘制决策边界，当多个分类的时候，决策边界如下：
当k越大（k = 50时），模型越简单，边界越规整，如下图所示：
4 逻辑回归添加多项式
4.1 逻辑回归的多项式
像上图所示，是一个非线性的分布，显然可以使用一个圆形来绘制决策边界的。与多项式回归类似的做法
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom sklearn.preprocessing import PolynomialFeaturesfrom sklearn.pipeline import Pipelinefrom sklearn.preprocessing import StandardScalernp.random.seed(666)X = np.random.normal(0, 1, size=(200, 2))y = np.array((X[:,0]**2+X[:,1]**2)<1.5, dtype='int')def PolynomialLogisticRegression(degree): return Pipeline([ ('poly', PolynomialFeatures(degree=degree)), ('std_scaler', StandardScaler()), ('log_reg', LogisticRegression()) ])poly_log_reg = PolynomialLogisticRegression(degree=2)poly_log_reg.fit(X, y)poly_log_reg.score(X, y) #0.94999999999999996# 绘制决策边界plot_decision_boundary(poly_log_reg, axis=[-4, 4, -4, 4])plt.scatter(X[y==0,0], X[y==0,1])plt.scatter(X[y==1,0], X[y==1,1])plt.show()复制代码 4.2 逻辑回归中使用正则化
对逻辑回归中，以防止模型过拟合的问题，也要使用模型正则化
scikit-learn中使用的是右侧的方式，其中L1、L2的系数一定不为0，这也说明了scikit-learn中强制使用正则化。通过改变C的大小，来决定正则化的权重。
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltnp.random.seed(666)X = np.random.normal(0, 1, size=(200, 2))y = np.array((X[:,0]**2+X[:,1])<1.5, dtype='int')# 加了一些噪音for _ in range(20): y[np.random.randint(200)] = 1def PolynomialLogisticRegression(degree, C，penalty='l2'): return Pipeline([ ('poly', PolynomialFeatures(degree=degree)), ('std_scaler', StandardScaler()), ('log_reg', LogisticRegression(C=C)) ])# C=0.1，表示正则化权重较大poly_log_reg3 = PolynomialLogisticRegression(degree=20, C=0.1)poly_log_reg3.fit(X_train, y_train)poly_log_reg3.score(X_train, y_train) # 0.85333333333333339poly_log_reg3.score(X_test, y_test) # 0.92000000000000004plot_decision_boundary(poly_log_reg3, axis=[-4, 4, -4, 4])plt.scatter(X[y==0,0], X[y==0,1])plt.scatter(X[y==1,0], X[y==1,1])plt.show()复制代码 使用L2正则化来绘制决策边界
使用L1正则化时
poly_log_reg4 = PolynomialLogisticRegression(degree=20, C=0.1, penalty='l1')poly_log_reg4.fit(X_train, y_train)plot_decision_boundary(poly_log_reg4, axis=[-4, 4, -4, 4])plt.scatter(X[y==0,0], X[y==0,1])plt.scatter(X[y==1,0], X[y==1,1])plt.show()复制代码
5 逻辑回归解决多分类问题
5.1 OVR(One VS Rest)
n个类别就进行n次分类，选择分类得分最高的
若一次分类时间为t，所需要的时间为n*t的时间
5.2 OVO（One VS One）
任意两个类别，分别进行对比 n个类别就进行C(n,2)次分类，选择赢数最高的分类
所需时间更多，n*(n-1)/2，但是准确率更高一些。
5.3 scikit-learn中使用方式
LogisticRegression默认是OVR方式，如果使用OVO方式，需要添加下面两个参数。
LogisticRegression(multi_class="multinomial", solver="newton-cg")
除此之外，scikit-learn还给我们封装了通用的分类器，参数输入任意分类器即可 我们使用iris = datasets.load_iris()的数据集
from sklearn.multiclass import OneVsRestClassifierovr = OneVsRestClassifier(log_reg)ovr.fit(X_train, y_train)ovr.score(X_test, y_test) # 0.94736842105263153复制代码
from sklearn.multiclass import OneVsOneClassifierovo = OneVsOneClassifier(log_reg)ovo.fit(X_train, y_train)ovo.score(X_test, y_test) #1.0复制代码
声明：此文章为本人学习笔记，课程来源于慕课网：python3入门机器学习经典算法与应用。在此也感谢bobo老师精妙的讲解。
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